9.Sınıf Matematik Ders Notları
9.Sınıf Matematik Ders Notları WORD İndir
1.ÜNİTE: MANTIK
Önerme: Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s, ... gibi küçük harflerle gösterilir.
Doğruluk Değeri: Bir önermenin doğru olması durumunda "D" veya "1", yanlış olması durumunda "Y" veya "0" ile gösterilir.
Örnek:
p: "Türkiye'nin başkenti Ankara'dır." (Doğruluk değeri: D)
q: "2 + 2 = 5." (Doğruluk değeri: Y)
Bileşik Önermeler: İki veya daha fazla önermenin "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" bağlaçlarıyla birleştirilmesiyle oluşan yeni önermelerdir.
"ve" Bağlacı (\land): İki önerme de doğruyken doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
p \land q: "p ve q" şeklinde okunur.
Doğruluk Tablosu: | p | q | p \land q | |---|---|---| | D | D | D | | D | Y | Y | | Y | D | Y | | Y | Y | Y |
"veya" Bağlacı (\lor): Önermelerden en az biri doğruyken doğru, her ikisi de yanlışken yanlıştır.
p \lor q: "p veya q" şeklinde okunur.
Doğruluk Tablosu: | p | q | p \lor q | |---|---|---| | D | D | D | | D | Y | D | | Y | D | D | | Y | Y | Y |
"ise" Bağlacı (\implies): Birinci önerme doğru, ikinci önerme yanlışken yanlış, diğer durumlarda doğrudur.
p \implies q: "p ise q" şeklinde okunur. p'ye hipotez, q'ya hüküm denir.
Doğruluk Tablosu: | p | q | p \implies q | |---|---|---| | D | D | D | | D | Y | Y | | Y | D | D | | Y | Y | D |
"ancak ve ancak" Bağlacı (\iff): İki önermenin doğruluk değerleri aynıyken doğru, farklıyken yanlıştır.
p \iff q: "p ancak ve ancak q" şeklinde okunur.
Doğruluk Tablosu: | p | q | p \iff q | |---|---|---| | D | D | D | | D | Y | Y | | Y | D | Y | | Y | Y | D |
Önermenin Değili (Olumsuzu): Bir önermenin hükmünün tersini ifade eden önermedir. Bir önermenin değili üzerine "'" işareti konularak veya "\neg" sembolü ile gösterilir (p' veya \neg p). Bir önerme doğruysa değili yanlıştır, yanlışsa değili doğrudur.
Örnek:
p: "3 > 2" (D), p': "3 \le 2" (Y)
q: "Asal sayı yoktur." (Y), q': "Asal sayı vardır." (D)
Niceleyiciler: Önermelerin kapsamını belirten ifadelerdir.
"Her" Niceleyicisi (\forall): Bir özelliğin bir kümenin bütün elemanları için geçerli olduğunu ifade eder. "Bütün", "her biri" gibi anlamlara gelir.
(\forall x, P(x)): "Her x için P(x) doğrudur."
"Bazı" Niceleyicisi (\exists): Bir özelliğin bir kümenin en az bir elemanı için geçerli olduğunu ifade eder. "En az bir", "bazı", "vardır" gibi anlamlara gelir.
(\exists x, P(x)): "En az bir x için P(x) doğrudur."
Niceleyicilerin Değili:
(\forall x, P(x))' \equiv (\exists x, P(x)') (Her'in değili bazı'dır)
(\exists x, P(x))' \equiv (\forall x, P(x)') (Bazı'nın değili her'dir)
2.ÜNİTE: KÜMELER
Küme Kavramı: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler genellikle büyük harflerle (A, B, C, ...) gösterilir. Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir. Bir elemanın bir kümeye ait olup olmadığı "\in" (aittir) veya "\notin" (ait değildir) sembolleriyle gösterilir.
Örnek: A = \{1, 2, 3\}, 1 \in A, 4 \notin A.
Küme Gösterim Yöntemleri:
Liste Yöntemi: Kümenin elemanları aralarına virgül konularak ve "{}" içine yazılarak gösterilir.
Örnek: B = \{a, b, c\}
Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin elemanlarının sahip olduğu ortak bir özellik belirtilerek gösterilir.
Örnek: C = \{x \mid x, \text{tek rakam}\} (Okunuşu: "C, öyle x'lerden oluşur ki, x tek rakamdır.")
Venn Şeması Yöntemi: Kümeler kapalı eğriler (genellikle daireler veya elipsler) içinde elemanları veya eleman sayıları ile gösterilir.
Küme Çeşitleri:
Boş Küme (\emptyset veya \{\}): Hiçbir elemanı olmayan kümedir.
Sonlu Küme: Eleman sayısı sonlu olan kümedir.
Sonsuz Küme: Eleman sayısı sonsuz olan kümedir.
Eşit Kümeler: Aynı elemanlara sahip olan kümelerdir (A = B).
Denk Kümeler: Eleman sayıları eşit olan kümelerdir (s(A) = s(B) veya A \sim B).
Alt Küme (A \subseteq B): Bir kümenin her elemanı başka bir kümenin de elemanı ise, ilk kümeye ikinci kümenin alt kümesi denir.
Her küme kendisinin alt kümesidir (A \subseteq A).
Boş küme her kümenin alt kümesidir (\emptyset \subseteq A).
A \subseteq B ve B \subseteq A ise A = B dir.
n elemanlı bir kümenin 2^n tane alt kümesi vardır.
Öz Alt Küme (A \subset B): Bir küme başka bir kümenin alt kümesi olup, kümeler birbirine eşit değilse, ilk kümeye ikinci kümenin öz alt kümesi denir.
n elemanlı bir kümenin 2^n - 1 tane öz alt kümesi vardır.
Küme İşlemleri:
Birleşim Kümesi (A \cup B): A veya B kümelerinin tüm elemanlarını içeren kümedir.
A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}
Kesişim Kümesi (A \cap B): A ve B kümelerinin ortak elemanlarını içeren kümedir.
A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}
Eğer A \cap B = \emptyset ise A ve B ayrık kümelerdir.
Fark Kümesi (A \setminus B veya A - B): A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları içeren kümedir.
A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\}
Evrensel Küme (E veya U): Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümedir.
Tümleyen Küme (A' veya A^c): Bir A kümesinin evrensel küme içindeki tüm elemanlarını içermeyen elemanların kümesidir.
A' = \{x \mid x \in E \land x \notin A\} = E \setminus A
3.ÜNİTE: SAYILAR
Sayı Kümeleri:
Doğal Sayılar Kümesi (\mathbb{N}): 0, 1, 2, 3, ... sayılarından oluşur. \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}
Sayma Sayılar Kümesi (\mathbb{Z}^+): 1, 2, 3, ... sayılarından oluşur. \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, ...\}
Tam Sayılar Kümesi (\mathbb{Z}): Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşur. \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}
Rasyonel Sayılar Kümesi (\mathbb{Q}): a/b şeklinde yazılabilen sayılardır, burada a, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0 dır. Ondalıklı gösterimleri sonlu veya devirlidir.
İrrasyonel Sayılar Kümesi (\mathbb{I}): a/b şeklinde yazılamayan, ondalıklı gösterimleri sonsuz ve devirsiz olan sayılardır (\sqrt{2}, \pi, e, ...).
Reel (Gerçek) Sayılar Kümesi (\mathbb{R}): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir (\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}). Sayı doğrusunun tamamını oluşturur.
Temel Kavramlar:
Tek ve Çift Sayılar: 2n şeklinde yazılabilen tam sayılara çift sayı, 2n+1 şeklinde yazılabilen tam sayılara tek sayı denir (n \in \mathbb{Z}).
Asal Sayılar: 1'den büyük ve sadece 1'e ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, ...). En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayıdır.
Aralık Kavramı: Gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Sınır noktalarının dahil olup olmamasına göre farklı türleri vardır:
Kapalı Aralık: [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}
Açık Aralık: (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}
Yarı Açık (Yarı Kapalı) Aralıklar: (a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\} veya [a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}
Sonsuz Aralıklar: (a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}, [a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge a\}, (-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}, (-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le b\}, (-\infty, \infty) = \mathbb{R}
Mutlak Değer: Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfır noktasına olan uzaklığıdır. |x| ile gösterilir.
|x| = \begin{cases} x, & \text{eğer } x \ge 0 \\ -x, & \text{eğer } x < 0 \end{cases}
Mutlak Değerin Özellikleri:
|x| \ge 0
|-x| = |x|
|x \cdot y| = |x| \cdot |y|
|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|} (y \neq 0)
|x| = a \implies x = a veya x = -a (a \ge 0)
|x| < a \implies -a < x < a (a > 0)
|x| > a \implies x > a veya x < -a (a \ge 0)
4.ÜNİTE: ÜSLÜ İFADELER VE DENKLEMLER
Üslü İfadeler: Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ifade eder. a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ tane}} (a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Z}^+)
a^0 = 1 (a \neq 0)
a^{-n} = \frac{1}{a^n} (a \neq 0, n \in \mathbb{Z}^+)
Üslü İfadelerin Özellikleri:
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} (a \neq 0)
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} (b \neq 0)
Üslü Denklemler: İçinde bilinmeyenin üs olarak bulunduğu denklemlerdir.
a^x = a^y \implies x = y (a > 0, a \neq 1)
a^x = b^x \implies a = b veya x = 0 (a, b > 0, a \neq 1, b \neq 1)
Köklü İfadeler: Bir sayının belirli bir kuvvetten kökünü ifade eder. \sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a (n \in \mathbb{Z}^+, n \ge 2)
Eğer n tek ise a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R} dir.
Eğer n çift ise a \ge 0, b \ge 0 dır.
Köklü İfadelerin Özellikleri:
\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} (a \ge 0 eğer n çift ise)
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} (a \ge 0, b \ge 0 eğer n çift ise)
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0 eğer n çift ise)
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} (a \ge 0 eğer m veya n çift ise)
Köklü Denklemler: İçinde bilinmeyenin kök içinde bulunduğu denklemlerdir. Çözülürken genellikle her iki tarafın uygun kuvveti alınarak kökten kurtulmaya çalışılır ve bulunan köklerin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir.
5.ÜNİTE: DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler: ax + b = 0 şeklinde yazılabilen denklemlerdir (a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0). Çözümü x = -b/a dır.
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler: ax + b > 0, ax + b < 0,