10.Sınıf Matematik Ders Notları
10.Sınıf Matematik Ders Notları WORD İndir
1.ÜNİTE: SAYILAR VE CEBİR
Köklü Sayılar:
Tanım: Bir sayının belirli bir kuvvetten kökünü ifade eden sayılardır. \sqrt[n]{a} şeklinde gösterilir. Burada n kök derecesi (pozitif tam sayı, n \ge 2), a ise kök içindeki sayıdır (radikant).
Özellikler:
\sqrt[n]{a^n} = |a| (eğer n çift ise)
\sqrt[n]{a^n} = a (eğer n tek ise)
\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} (Kök dereceleri aynıysa kök içindeki sayılar çarpılabilir)
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} (Kök dereceleri aynıysa kök içindeki sayılar bölünebilir, b \neq 0)
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} (İç içe kökler tek bir kök altında çarpılarak yazılabilir)
Kökten Çıkarma: Kök içindeki sayıyı tam kare, tam küp vb. çarpanlarına ayırarak kök dışına alma işlemidir.
Örnek: \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
Köklü Sayılarda İşlemler:
Toplama ve Çıkarma: Kök dereceleri ve kök içindeki sayıları aynı olan terimler katsayıları toplanıp çıkarılarak işlem yapılır.
Örnek: 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
Çarpma ve Bölme: Kök dereceleri aynıysa kök içindeki sayılar çarpılır veya bölünür.
Örnek: \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}
Kök Genişletme ve Sadeleştirme: Kökün derecesini ve kök içindeki sayının üssünü aynı sayıyla çarpmak veya bölmek köklü sayının değerini değiştirmez.
Örnek: \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{(a^2)^2} = \sqrt[6]{a^4}
Eşlenik: Kök içeren ifadelerde paydayı kökten kurtarmak için kullanılan çarpandır.
\sqrt{a}'nın eşleniği \sqrt{a}
a + \sqrt{b}'nin eşleniği a - \sqrt{b}
\sqrt{a} + \sqrt{b}'nin eşleniği \sqrt{a} - \sqrt{b}
Çarpanlara Ayırma: Bir polinomu daha basit polinomların çarpımı şeklinde yazma işlemidir.
Ortak Çarpan Parantezine Alma: Her terimde ortak olan bir çarpan varsa parantez dışına alınır.
Örnek: ax + ay = a(x + y)
İki Kare Farkı: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Tam Kare İfadeler:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
İki Küp Farkı ve Toplamı:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Gruplandırma Yöntemi: Terimleri ortak çarpanları olacak şekilde gruplandırarak çarpanlara ayırma.
Örnek: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Trinom Çarpanlara Ayırma: ax^2 + bx + c şeklindeki ifadeleri çarpanlara ayırma.
x^2 + bx + c = (x + m)(x + n) ise m + n = b ve m \cdot n = c olmalıdır.
ax^2 + bx + c = (px + r)(qx + s) ise pq = a, rs = c ve ps + rq = b olmalıdır.
Oran ve Orantı:
Oran: İki çokluğun birbirine bölümüdür. \frac{a}{b} şeklinde gösterilir.
Orantı: İki veya daha fazla oranın eşitliğine denir. \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k (orantı sabiti)
Orantının Özellikleri:
İçler-dışlar çarpımı: a \cdot d = b \cdot c
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d} (paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında toplanıp çıkarılabilir)
\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a}{c} = \frac{b}{d} (içler veya dışlar yer değiştirebilir)
Doğru Orantı: Çokluklardan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa doğru orantı vardır. \frac{y}{x} = k (orantı sabiti) veya y = kx.
Ters Orantı: Çokluklardan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa ters orantı vardır. x \cdot y = k (orantı sabiti).
Bileşik Orantı: İkiden fazla çokluğun orantılı olduğu durumlardır.
2.ÜNİTE: DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler: ax^2 + bx + c = 0 şeklinde yazılabilen denklemlerdir (a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0).
Çözüm Yöntemleri:
Çarpanlara Ayırma: Denklem çarpanlarına ayrılarak kökler bulunur.
Diskriminant Yöntemi: \Delta = b^2 - 4ac diskriminantı hesaplanır.
\Delta > 0 ise denklemin iki farklı reel kökü vardır: x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
\Delta = 0 ise denklemin çakışık (eşit) iki reel kökü vardır: x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}
\Delta < 0 ise denklemin reel kökü yoktur (karmaşık kökleri vardır).
Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta Formülleri):
Kökler toplamı: x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
Kökler çarpımı: x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler: ax^2 + bx + c > 0, ax^2 + bx + c < 0, ax^2 + bx + c \ge 0, ax^2 + bx + c \le 0 şeklindeki ifadelerdir.
Çözüm Yöntemi:
Denklemin kökleri bulunur.
Kökler sayı doğrusu üzerinde işaretlenir ve sayı doğrusu aralıklara ayrılır.
Her aralıktan bir değer seçilerek eşitsizliğin işareti belirlenir.
Eşitsizliğin istediği aralıklar çözüm kümesi olarak alınır.
a'nın işareti ve köklerin durumuna göre işaret tablosu oluşturulur.
Rasyonel İfadeler ve Denklemler: Pay ve paydasında polinomlar bulunan ifadelerdir. Rasyonel denklemler çözülürken paydaların sıfır olmadığı durumlar dikkate alınmalıdır. Genellikle paydalar eşitlenerek veya içler-dışlar çarpımı yapılarak çözülür.
Mutlak Değer İçeren Denklem ve Eşitsizlikler: Mutlak değerin tanımı kullanılarak (içinin pozitif ve negatif olma durumlarına göre) çözülür.
|x| = a \implies x = a veya x = -a (a \ge 0)
|x| < a \implies -a < x < a (a > 0)
|x| > a \implies x > a veya x < -a (a \ge 0)
|f(x)| = g(x) \implies f(x) = g(x) veya f(x) = -g(x) ve g(x) \ge 0
|f(x)| < g(x) \implies -g(x) < f(x) < g(x) ve g(x) > 0
|f(x)| > g(x) \implies f(x) > g(x) veya f(x) < -g(x)
3.ÜNİTE: FONKSİYONLAR
Fonksiyon Kavramı: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A'nın her bir elemanını B'nin yalnızca bir elemanına eşleyen ilişkiye fonksiyon denir. f: A \to B şeklinde gösterilir.
A: Tanım kümesi
B: Değer kümesi
f(x): x elemanının altındaki görüntüsü (değer)
Görüntü kümesi: Tanım kümesindeki tüm elemanların eşlendiği elemanların oluşturduğu kümedir (değer kümesinin alt kümesidir).
Fonksiyon Türleri:
Bire Bir Fonksiyon: Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı ise fonksiyona bire bir fonksiyon denir. f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2.
Örten Fonksiyon: Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı varsa fonksiyona örten fonksiyon denir (görüntü kümesi = değer kümesi).
İçine Fonksiyon: Değer kümesinde görüntü kümesinde olmayan en az bir eleman varsa fonksiyona içine fonksiyon denir (görüntü kümesi \subset değer kümesi).
Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki aynı elemana eşleyen fonksiyondur (f(x) = c, c sabit).
Doğrusal Fonksiyon: f(x) = ax + b şeklinde yazılabilen fonksiyondur (a, b sabit, a \neq 0). Grafiği bir doğrudur.
Birim (Özdeşlik) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur (f(x) = x).
Fonksiyonlarda İşlemler:
Toplama: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Çıkarma: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Çarpma: (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
Bölme: (\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} (g(x) \neq 0)
Fonksiyonun Grafiği: Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanları ile bu elemanların görüntülerini sıralı çiftler halinde alıp koordinat düzleminde işaretleyerek elde edilen noktalar kümesidir.
Ters Fonksiyon: Bire bir ve örten olan bir fonksiyonun tersi tanımlanabilir. f: A \to B bire bir ve örten ise f^{-1}: B \to A şeklinde tanımlanır. y = f(x) \iff x = f^{-1}(y). Bir fonksiyonun tersini bulmak için y = f(x) denkleminde x yalnız bırakılır ve x yerine f^{-1}(y), y yerine x yazılır.
Bir fonksiyon ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
4.ÜNİTE: POLİNOMLAR
Polinom Kavramı: a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere, P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 ifadesine reel katsayılı bir değişkenli polinom denir.
a_n: Başkatsayı
n: Polinomun derecesi (der(P(x)))
a_0: Sabit terim
a_i: Katsayılar
Polinomlarda İşlemler:
Toplama ve Çıkarma: Aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.
Çarpma: Her terim birbiriyle çarpılır ve aynı dereceli terimler toplanır.
Bölme: Polinom bölmesi algoritması kullanılarak yapılır. P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x), burada der(K(x)) < der(B(x)) veya K(x) = 0.
P(x): Bölünen polinom
Q(x): Bölen polinom
B(x): Bölüm polinomu
K(x): Kalan polinom
Polinomların Çarpanlara Ayrılması: Polinomu daha düşük dereceli polinomların çarpımı şeklinde yazma işlemidir (önceki ünitedeki çarpanlara ayırma yöntemleri burada da kullanılır).
Polinomların Kökleri: P(a) = 0 ise x = a sayısı P(x) polinomunun bir köküdür.
Çarpan Teoremi: (x - a), P(x) polinomunun bir çarpanı ise P(a) = 0 dır.
Kalan Teoremi: Bir P(x) polinomunun (x - a) ile bölümünden kalan P(a) dır.
Rasyonel Katsayılı Polinomların Kökleri: Eğer bir rasyonel katsayılı polinomun tam sayı kökü varsa, bu kök sabit terimin bir bölenidir. Eğer rasyonel kökü p/q (sadeleşmiş kesir) ise p sabit terimin bir böleni, q ise başkatsayının bir bölenidir.
5.ÜNİTE: VERİ, SAYMA VE OLASILIK
Veri: Bir olgu veya durum hakkında elde edilen bilgi veya değerlerdir.
Merkezi Eğilim Ölçüleri:
Aritmetik Ortalama (Ortalama): Veri grubundaki tüm değerlerin toplamının veri sayısına bölümüdür.
Medyan (Ortanca): Veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki değerdir (veri sayısı çift ise ortadaki iki değerin ortalaması alınır).
Mod (Tepe Değer): Veri grubunda en çok tekrar eden değerdir